Matemática na Música – Anexo

Séries de Fourier

Seja g(t) uma função periódica de período , definida em IR e integrável, segundo Riemann, em qualquer intervalo limitado. O nosso pressuposto é averiguar se g pode ser ‘expandida’ numa série da forma . (1)

Na fórmula acima, é o coeficiente correspondente à função constante , em que o fator está presente por conveniência. O termo não aparece pois . Tendo em conta que e que , a equação (1) pode ser rescrita na forma (2) com e , para cada . Para o que se segue, iremos explorar principalmente (2), contudo devemos também associar os resultados a (1).

Admitindo então a igualdade (2), impõe-se-nos determinar os coeficientes , que dependerão de g. Se multiplicarmos ambos os membros de (2) por , com k inteiro, e integrarmos de a , resulta que .

Como , para , e para , resulta então que o único termo que sobrevive após a integração é o termo em que , donde se obtém = , para k inteiro.

Trocando k por n, obtém-se a fórmula desejada para os coeficientes de : , (3) tornando-se agora simples a determinação dos coeficientes e da expressão (1), pois:

,

, para

, para .

Os números ou os números denominam-se por coeficientes de Fourier, os quais estão associados às respectivas fórmulas (1) e (2), denominadas por séries de Fourier. Para nos convencermos mais seriamente que efetivamente g(t) pode ser ‘expandida’ como uma série de senos e cossenos, seria ainda necessário constatar que a série realmente converge para a função g, o que não será mostrado aqui.

A ideia de expandir uma função como série de senos e cossenos pode ser agora facilmente generalizada a qualquer função periódica e integrável segundo Riemann:

Seja f(x) uma função periódica de período , e considere-se a seguinte mudança de variáveis , .

Com esta mudança de variáveis resulta que g(t) é uma função periódica e, tal como f(x), satisfaz a condição de Riemann, pelo que pode ser expandida na forma de (2). Substituindo em (2) e em (3) a variável t por (note-se que e ), resulta então que com .

A série de senos e cossenos correspondente é , com () e ().