Teoria Ondulatória
 Tratamento Matemático da onda
Parte 2

Prof. Luiz Ferraz Netto
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Essa Parte 2 da Teoria Ondulatória contém: Onda senoidal, Ondas estacionárias e Vibrações próprias

A onda senoidal (ou onda co-senoidal)
A onda mais importante e mais comum é a onda senoidal (onda harmônica). Vamos considera-la, inicialmente no caso unidimensional. A perturbação x propagar-se-á com a velocidade u ao longo do eixo x. Na posição x = 0 (onde se pode imaginar a localização da fonte das perturbações) aparecerá uma perturbação periódica em relação ao tempo: x(x = 0,t) = A.sen wt .

Como a perturbação deve-se propagar com a velocidade inalterável u, obtém-se assim no tempo t, para uma posição x, a mesma perturbação que existira, há um certo intervalo de tempo t’ 'mais cedo', na posição x = 0 tendo neste caso o “tempo de percurso” t' o valor  x/u . Portanto,

x(x,t) = x(x = 0,t - t') = A.sen w(t - t') = A.sen (wt - wx/u) .

 Escreve-se, comumente:

x(x,t) = A.sen (wt - k.x)

A = amplitude da onda,
j = (wt - k.x) chama-se fase da onda,
w = pulsação ou freqüência circular (variação da fase por segundo),
k = w/u  é o número da onda (variação da fase por metro).

Da expressão  x = A.sen (wt - k.x)  vê-se que:

1) Para uma dada posição (x = const.) x varia periodicamente com o tempo (período T = 2p/w).

2) Para um dado instante (t = const.), x é espacialmente periódica. O período espacial chama-se comprimento da onda l (l = 2p/k).

3) Pontos com fase constante movem-se com a velocidade u. Observe: De  j = (wt - k.x) = const., obtemos, por derivação:  dj = w.dt - k.dx = 0,   ou   dx/dt = w/k = u = vfase . Por isto dá-se a u o nome de velocidade de fase.

4) O caráter da onda não varia, ao se acrescentar à fase j uma constante jo. A adição de uma constante de fase significa o mesmo que fazer a escolha de uma outra origem dos tempos (ou das posições).

Pondo-se por exemplo, t = to + t’ torna-se assim:  j = (wt' - k.x) + jo.  Com uma escolha adequada da origem dos tempos, podem-se atribuir à constante  jo  valores quaisquer.  Sendo jo = p/2, transforma-se a onda senoidal em onda co-senoidal:  sen (j + p/2) = cos j .  Para  jo= p , inverte-se o sinal: sen (j + p) = - sen j = sen (-j).

5) Da relação   x = A.sen (wt - k.x)  = A sen k(u.t - x) resulta que a onda senoidal é também uma solução da equação das ondas.

Notemos ainda as seguintes relações:

Observação: Para muitos cálculos com ondas harmônicas e conveniente completar a grandeza real x = a cos j, formando-se o número complexo a,

(cos j + i.sen j) = a.eij .

No fim dos cálculos voltamos novamente à parte real.

Ondas estacionárias
As ondas estacionárias aparecem muito freqüentemente nos meios limitados. Quando a onda chega aos limites do meio, nos quais nenhuma transmissão de energia para o exterior é possível, reflete-se e volta no sentido oposto.

Na ilustração a seguir, a onda que se propaga para a direita pode ser expressa por: x1 = A.sen (wt - k.x)  e a onda refletida, que se propaga para a esquerda (inversão do sinal de u), por: x2 = A.sen (wt + k.x) . As perturbações x1  e  x2  somam-se de acordo com o princípio da superposição:

x = x1 + x2
x(x,t) = A.sen(wt - kx) + A.sen(wt + kx) = 2A.coskx.senwt

O resultado desta superposição é um tipo de onda completamente novo, a chamada onda estacionária.

Vê-se que, para um ponto determinado xo do espaço tem lugar uma vibração harmônica. A amplitude porém varia de posição em posição, sendo para x = xo : 2A.coskxo = 2A.cos(2p.xo/l). Onde x for um múltiplo inteiro de l, x será identicamente nula, isto é, a amplitude é nula em todos os instantes (nós da vibração --- N, na ilustração acima).

Há também posições, nas quais a amplitude adquire seu valor máximo 2A. Estas posições chamam-se ventres da vibração (V, na ilustração acima).

A formação de ondas estacionárias por meio da reflexão de vibrações acústicas numa parede pode ser evidenciada com o auxílio de uma chama sensível de gás ou com um microfone (ilustração abaixo -- demonstração recomendada). Numa posição correspondente a um nó o escoamento do gás é laminar (chama longa); num ventre o escoamento é turbulento (chama curta).

Nos instrumentos musicais criam-se ondas estacionárias. Por meio disto, fixam-se os números de vibrações (alturas do som nos tubos e cordas sonoros).

Vibrações próprias
As ondas estacionárias que aparecem nos meios confinados não podem possuir freqüências arbitrárias, porém somente determinadas freqüências próprias f1, f2, f3 , ...  Isto se vê claramente no exemplo da corda vibrante. Uma corda, presa em suas extremidades E, somente poderá vibrar de modo que as extremidades constituam nós N. Chama-se a isto condição de extremidade (ou fronteira).

À distância entre dois nós vizinhos é igual à metade do comprimento de onda l. Ao comprimento L da corda deve corresponder um número inteiro de semi-comprimentos de onda l/2:  L = n.(l/2).

Sendo entretanto, a velocidade de propagação u = f . l, teremos:

f = u/l = u/(2L/n) = n(u/2L) = n.fo .

A vibração correspondente a   n = 1  chama-se vibração fundamental; todas as demais são múltiplos inteiros de fo e chamam-se vibrações superiores. Quando as freqüências próprias estão entre si como 1:2:3:... (como neste caso) diz-se tratar de vibrações superiores “harmônicas".

A cada estado de vibração corresponde uma certa energia E. Em quase todos os sistemas E diminui com o decorrer do tempo, porque, a energia se transmite ao ambiente ou se transforma em outra espécie de energia (calor). Por isto, praticamente, todas as vibrações são amortecidas. Sem o amortecimento, todo sistema, uma vez adquirido um estado de vibração, nele permaneceria: as vibrações próprias tem caráter estacionário.

Já que as perturbações se superpõem simplesmente, segundo o princípio da superposição, um sistema poderá vibrar simultaneamente com várias vibrações próprias. Matematicamente, as vibrações próprias são as soluções da equação das ondas que, em cada ponto do meio, variam co-senoidalmente com o tempo e com um período T, independente da posição.

x = A(x,y,z).coswt

Além desta equação, A deve satisfazer as condições de fronteira. (Por exemplo, no caso de uma membrana presa segundo seu contorno, a amplitude da vibração A, ao longo de seu perímetro deverá ser nula).

As condições de fronteira fazem com que k e conseqüentemente f não assumam valores quaisquer, porém somente os valores próprios k.

A cada valor próprio kn corresponde uma freqüência própria e uma função própria An.

Em lugar dos pontos nodais, como no caso da corda, aparecem aqui linhas nodais. As linhas nós podem tornar-se visíveis. Nas membranas metálicas isto acontece cobrindo-as com areia. As figuras criadas desta maneira chamam-se figuras de Chladny (ver demonstração nessa sala).

Mais simples ainda são as linhas nodais nas membranas quadráticas. Igualmente muito fáceis de observar são as formas de vibração nas lâminas circulares. Nestas, as linhas nodais são diâmetros e circunferências concêntricas, como se vê no desenho devido a vibrações sonoras (ilustração abaixo). Para cada desenho, obtido pelo som, corresponde um determinado número de vibrações com o qual se produz a vibração considerada.

No caso de membranas circulares as funções próprias são funções cilíndricas e as vibrações fundamentais e superiores já não são “harmônicas".