Teoria
Ondulatória
Tratamento
Matemático da onda
Parte 1
Prof.
Luiz Ferraz Netto
[email protected]
Essa
Parte 1 da Teoria Ondulatória contém:
Fundamentos físicos;
Velocidade de uma onda e Dedução da equação das ondas elásticas
longitudinais.
Fundamentos
físicos
A teoria ondulatória estuda a propagação de perturbações
nos meios contínuos. O tipo do meio, bem como a espécie da perturbação,
podem ser muito variados.
No caso das ondas superficiais o meio é um líquido; a perturbação
consiste no deslocamento, x,
das partículas de sua posição de equilíbrio.
Para as ondas sonoras o meio é um material sólido, líquido ou gasoso; a
perturbação provém do aparecimento de um estado de superpressão local.
No caso das ondas eletromagnéticas (luz, ondas de rádio) não é necessário
nenhum meio material. A perturbação consiste na criação de campos elétricos
(magnéticos). (x,
neste caso, é pois um vetor).
Como
exemplo consideremos uma onda de compressão como a ilustrada abaixo:
Golpeando-se
com um martelo a extremidade de uma barra metálica longa, cria-se assim,
nesta extremidade da barra, uma perturbação (compressão). A princípio,
a primeira camada tem sua pressão aumentada: suas partículas se afastam,
por isto, da posição de equilíbrio a uma distância x,
que serve como medida da perturbação. A perturbação se propaga, uma vez
que as partículas individuais se vinculam reciprocamente, por meio de forças
elásticas. As secções transversais vizinhas vão sofrendo sucessivamente
um deslocamento e retornam ao equilíbrio: a perturbação “caminha”.
Para
que a perturbação realmente se propague, e com isto se crie uma onda
propriamente dita, a vinculação é essencial. Vê-se isto, de um
modo particularmente claro, no caso da cadeia de ondas, um sistema de
muitos pêndulos de torção ligados (experimento recomendado: clique
aqui).
Na
maioria dos casos, embora nem sempre, associa-se a uma propagação de
ondas um transporte de energia.
Nas
ondas devem-se distinguir as ondas transversais,
em cujo caso a perturbação x
é normal à direção da propagação (à esquerda, abaixo) e as ondas
longitudinais, para as quais o deslocamento se dá na direção da
propagação (à direita, abaixo)
Deve-se,
contudo, observar que numa onda as partículas não se afastam
continuamente, porém oscilam em torno da posição de equilíbrio.
Essencial ainda, para toda a teoria ondulatória, é o princípio
da superposição: duas perturbações da mesma espécie x1
e x2
compõem aditivamente uma perturbação resultante x
= x1 + x2 .(Demonstração com ondas
na água - cuba
de ondas).
Velocidade
de uma onda
A velocidade, com a qual uma perturbação se propaga, somente
se poderá definir de uma maneira simples quando a perturbação não varia
sua forma espacial. Limitar-nos-emos inicialmente a este caso,
restringindo-nos aqui a lidar com um problema unidimensional (Exemplo:
ondas sinuosas numa corda tensa -- ver
experimento).
Caracterizamos
a perturbação por meio de uma grandeza x,
que é função da posição e do tempo.
Para
que uma tal função constitua uma onda, deve satisfazer à condição
seguinte: A perturbação x
deve ter, para os diversos pontos da reta x, para o tempo t = 0, os valores
dados na curva A: x(x,0)
= f(x) .
Esta
onda deve se mover com a velocidade de propagação u dirigida para
a direita (segundo os valores crescentes de x). A perturbação que, para o
tempo t (curva B), achamos numa determinada posição x,
apresentara-se, para t = 0, na posição xo = x - ut .
Será, portanto:
x(x,t)
= x(xo,0)
= f(xo) = f(x - ut)
Vemos
portanto, que uma função que contém x e t somente na ligação
(x - ut), constitui uma onda que se propaga com a velocidade u. A
velocidade de propagação u depende das propriedades do meio
transmissor. Com a ajuda de considerações
dimensionais, pode-se muitas vezes determinar u, a menos de
um fator numérico.
Exemplo
- 1: No caso de ondas longitudinais elásticas, u deve
depender do módulo de elasticidade E (módulo de Young) e da
densidade absoluta r:
u = f(r,E).
Sendo porém,
Para
o aço (E = 2,2 x 1011 newton/m2 ; r
= 7 800 kg/m3) torna-se u = 5 000 m/s.
Exemplo
- 2: Na propagação de ondas aquáticas em águas rasas (ondas
pesadas), entra em jogo a profundidade h da água bem como a
grandeza da aceleração da gravidade g e, portanto: u
=f(h,g) .
A
massa não figura neste caso, como em todos os movimentos, devido ao peso
(massa inerte = massa pesada). Como
[u]
= m.s-1 , [h] = m e
[g] = m.s-2
Para
h = 0,05 m, g = 9,81 ms-2 será u
= 0,7 ms-1.
Dedução
da equação das ondas no exemplo de ondas elásticas longitudinais.
Consideremos uma barra bem longa, tendo secção transversal de área A,
densidade r e
módulo de elasticidade E. Uma onda corre no sentido dos x crescentes
(ilustração abaixo).
Neste
caso a perturbação consiste no deslocamento das partículas de uma secção
transversal a uma distância x,
na direção x. Estes deslocamentos processam-se sob a influência de tensões
elásticas t
(tração, compressão; t
= F/A). Designaremos a tração na posição x, no instante t, com t
(x, t); na posição x + dx a compressão será, então, igual a
Visualizemos,
agora, o elemento da barra compreendido entre as duas secções x e x + dx.
Os deslocamentos
nas
suas extremidades são diferentes. Este elemento da barra alongou-se,
portanto, sob a influência das forças.
Esta
é a chamada equação das ondas para a onda
elástica ao longo de uma barra.
Veremos,
a seguir, que a expressão representativa de uma onda longitudinal
propagando-se ao longo do eixo x , a saber, x = f(x - ut) ,
satisfaz realmente à equação de ondas.
Segue
Tratamento
matemático da onda - Parte 2.
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