Batimento
e Gráficos
(Freqüência do
vibrador - Altura do som)
Prof. Luiz Ferraz Netto
[email protected]
Objetivo
Esse trabalho permitirá analisar
mediante o uso de um disco estroboscópico ou do estroboscópio eletrônico
de uso geral (vide Sala de Estroboscopia) a freqüência de vibração de
uma lâmina vibrante ou de um diapasão; verificar quais os fatores que
intervêm na altura de um som; evidenciar e estudar o fenômeno do
batimento e a construção de gráficos de funções em papel milimetrado,
mono-log e log-log.
Material
2
diapasões de mesma freqüência
1 cursor para diapasão
2 caixas de ressonância para os diapasões
1 martelo de borracha
2 lâminas vibrantes com cursor estroboscópio
1 cronômetro
1 rolo de fita isolante preta.
Procedimento
- usando lâmina
vibrante
Fixe a lâmina vibrante (fita de aço)
por uma de suas extremidades em uma morsa ou garra apropriada e faça-a
vibrar.
Determine sua freqüência usando o estroboscópio e o cronômetro (se
achar conveniente, cubra com fita isolante preta algumas fendas do
estroboscópio de maneira que aquelas que permanecem abertas estejam
igualmente espaçadas — para o uso do estroboscópio, veja Sala
16 ).
Adapte a massa-cursor à lâmina, longe da extremidade livre e determine
novamente a freqüência. Vá aproximando o cursor da extremidade livre da
lâmina e determine a freqüência para umas cinco diferentes posições
do cursor.
Faça
um gráfico de f em função de d (distância da massa-cursor
ao ponto fixo da lâmina). Tente também um gráfico de f em função
de 1/d ou outros gráficos relacionando f e d.
Algum
desses gráficos resultou linear e lhe permite encontrar facilmente o 'tipo
da equação' que relaciona f e d?
Caso
nenhum desses gráficos resulte linear, aproveite suas medidas de f
e d para aprender a usar papel di-logarítmico (veja a técnica no
decorrer deste trabalho).
A
freqüência de um vibrador depende de sua massa? ou da sua distribuição
de massa?
Experimente
simplesmente modificar o comprimento livre da lâmina vibrante e veja se
isso altera a freqüência.
Procedimento
- usando um diapasão
Ajuste agora um dos diapasões numa
das caixas de ressonância e faça-o vibrar golpeando-o com o martelo de
borracha (a). Prestes atenção ao som que ele emite.
Coloque
no diapasão a sua massa-cursor em diferentes posições e observe o som
emitido para cada posição da massa-cursor (b).
Por
analogia com o que você observou na lâmina vibrante, é capaz de dizer,
pelo menos qualitativamente, de que maneira a altura do som depende da freqüência
da fonte?
Um
desafio:
O som emitido
por um diapasão é tão débil que, de modo geral, é ouvido apenas á
pequena distância dele. Não obstante, se o diapasão é fixado numa caixa
de ressonância (caixa retangular de madeira com dimensões apropriadas)
seu som é ouvido numa sala relativamente ampla.
De onde aparece, nesse segundo caso, a energia "sobrante"? Não
tropeçamos aqui com uma violação da conservação da energia? [Resposta
no final do trabalho.]
Procedimento
- usando dois diapasões
- batimento
Use agora os dois diapasões (sem
massa-cursor) colocando as caixas de ressonância de maneira que suas
aberturas fiquem frente a frente (c).
Faça-os
vibrar simultaneamente e observe o som emitido. Coloque a massa-cursor em
um deles, bem embaixo, e faça vibrar novamente os diapasões.
Nota
alguma particularidade no som que ouve?
Varie
a posição do cursor até perceber nitidamente que a intensidade do som
varia periodicamente, passando por máximos e mínimos alternados — são
os batimentos.
Interpretação
dos batimentos
Imagine que a um mesmo ponto cheguem
duas perturbações do tipo:
y1
= A.cos 2p
f1.t
y2 = A.cos 2p
f2.t
que
só diferem pelas freqüências, que são, aliás, muito próximas: f1
- f2 £
10
Somando
membro a membro, temos, para a perturbação resultante:
y
= y1 + y2 = A.cos 2p
f1.t + A.cos 2p
f2.t = 2A.cos 2p[(f1-f2)/2].t.cos
2p[(f1+f2)/2].t
ou
y = A'.cos 2p[(f1+f2)/2].t
onde
A' = 2A.cos 2p[(f1-f2)/2].t
é a amplitude do movimento resultante.
A
expressão que resulta para "y" pode ser considerada um movimento
harmônico simples, em cada instante, só que sua amplitude não é
constante, variando com o tempo e produzindo máximos quando:
cos
2p[(f1-f2)/2].t
= +1 ou -1
e
mínimos quando:
cos
2p[(f1-f2)/2].t
= 0
Eis
uma ilustração gráfica do fenômeno:
Os
máximos correspondem aos reforços audíveis que você observou. Como, em
cada período da perturbação resultante, há dois mínimos, a freqüência
dos batimentos é fb = f1 - f2 .
Se
as duas fontes utilizadas tivessem freqüências muito diferentes (100 Hz
de diferença, por exemplo) você poderia ouvir batimentos?
Volte
aos dois diapasões, um deles com massa-cursor e, usando o cronômetro,
determine a freqüência fb dos batimentos para, digamos,
5 posições diferentes do cursor. Faça
um gráfico de fb, em função de d.
Usando
aqueles valores de fb, o valor conhecido da freqüência
do diapasão sem cursor, e a expressão fb = f1 - f2,
determine as freqüências correspondentes do diapasão com cursor. Faça
um gráfico dessas freqüências em função da posição do cursor — você
terá, assim, calibrado o seu diapasão com cursor.
Nota
— Você poderá "ver" os batimentos se fizer a montagem
ilustrada abaixo. As duas lâminas L1
e L2, têm, em seus extremos, espelhos E1 e E2
e devem vibrar no mesmo plano horizontal com freqüências
ligeiramente diferentes. A luz proveniente de uma 'caneta' laser O é
refletida em E1 e E. e, depois projetada numa pequena tela. Se em lugar da
caneta laser usar simplesmente uma fenda luminosa O a luz emergente do
espelho E2 pode incidir diretamente no olho do observador.
Observe a imagem da fenda O, e faca a analogia com o fenômeno acústico
dos batimentos.
Estudo
dos gráficos
Quando estudamos um fenômeno físico,
medimos as grandezas que nele intervêm obtendo uma tabela de valores numéricos.
Em seguida, observando cuidadosamente aquele conjunto de valores,
procuramos descobrir se eles se ajustam a alguma 'equação' simples que
será, então, a expressão matemática da lei daquele fenômeno.
Muitas vezes o trabalho de descobrir a forma matemática da lei de um fenômeno
físico torna-se muito mais fácil se transpusermos os resultados de nossas
medidas para um gráfico em papel milimetrado — se obtivermos uma reta,
ficaremos sabendo que as grandezas medidas são diretamente proporcionais.
Mas se obtivermos outra curva qualquer, poderemos “achar” que ela se
parece com uma parábola ou uma hipérbole, ou uma exponencial, por
exemplo, mas não poderemos ter certeza. São nesses casos que os papeis mono-logarítmico
e di-logarítmico podem ajudar.
No
papel mono-logarítmico (mono-log) , um dos eixos é dividido
proporcionalmente aos números 1, 2, 3, ... e o outro eixo é dividido
proporcionalmente aos logarítmicos dos números 1, 2, 3, ... (nesse eixo,
o número 5, por exemplo não indica 5,
mas sim o log 5).
No papel di-logarítmico (di-log ou log-Iog) os dois eixos são divididos
proporcionalmente aos logaritmos dos números. Damos a seguir dois exemplos
para esclarecer essa questão:
Exemplo
1 - Digamos que, feita uma experiência em que intervinham as duas
variáveis físicas x e y, transpusemos os dados obtidos para papel di-log
e obtivemos o gráfico 1.
Este
gráfico permite concluir que:
log
y = a.log x + log b
Ora,
esta equação pode ser escrita:
log
y = log (xa.b)
o que nos dá:
y = b.xa
Resta
descobrir os valores numéricos dos parâmetros a e b. Isto pode ser feito
voltando ao gráfico e observando que:
(1) - sendo a = tg a,
mede-se o ângulo a
com um transferidor e procura-se numa tabela trigonométrica o valor de tg a.
(2) - por outro lado, b pode ser
obtido observando que, para x = 1, temos log y = log b, ou seja: y = b.
Casos
particulares:
Se
a =
45o , tg a
= 1, a = 1 e então y = b.x
Se a
= 135o , tg a
= -1, a = -1 e então y = b.x-1 , ou seja, x.y = b.
Se
você tivesse feito o gráfico em papel milimetrado, que tipo de curva
teria encontrado para esse segundo caso particular?
Exemplo
- 2 - Feita uma experiência, obtivemos a seguinte tabela de
valores:
x |
-6 -5 -4 -3 -2
-1 0 1 2 3
4 5 6 |
y |
72 50 32 18 8 2
0 2 8 18 36 50 72 |
Levando
esses valores para papel milimetrado e log-log, obtemos, respectivamente,
os gráficos 2 e 3.
Este
último nos dá: a
= 63o , tg a
= a = 2 e, para x = 1, y = b = 2.
Logo,
a função procurada é y = 2.x2
Baseado
nesses exemplos, e voltando ao estudo da freqüência dos batimentos, faça
o gráfico de log f em função de log d e determine a forma
matemática da relação entre f e d.
Resposta
ao desafio
O som do diapasão amortece paulatinamente, já que a energia de suas
oscilações é transferida, pouco a pouco, para o meio circundante.
A dispersão aumenta e transcorre com maior rapidez se o diapasão
encontra-se fixado em um ressoador ou simplesmente encostado no tampo de
uma mesa, posto que, nesses casos, a transmissão ocorre não apenas via
ramos do diapasão como também pela superfície do ressoador ou da mesa.
Desse
modo, ainda que nos casos citados se ouça um som mais intenso, sua
duração
será menor e a energia emitida resultará igual em ambos os experimentos
(diapasão suspenso ou encostado em algo).
O
experimento que comprova isso é simples: um osciloscópio - traço duplo -
dotado de 2 pequenos amplificadores de áudio e 2 microfones; um microfone
é posto a alguns centímetros do diapasão (em ambos os experimentos) e o
outro a uns 5 metros de distância. Ajustam-se os ganhos de modo que ambos
os microfones sejam sempre sensibilizados.
Feitos os experimentos comprova-se facilmente que nos casos do diapasão
encostado em algo o fenômeno tem
menor duração que quando livre.
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