Prof. Luiz Ferraz Netto
[email protected]

Introdução
Esse experimento permite demonstrar que boa música pode ser produzida a partir de materiais ordinários e de obtenção bem simples. Não é essencial ter instrumentos custosos, extravagantes e bem polidos para se tocar as melodias favoritas. Com tubos de PVC de comprimentos diferentes pode-se criar uma escala musical. Qualquer escala pode ser construída. Para tanto basta que a pessoa entenda um pouco da teoria da música e, claro, um pouco de Física.

Quando golpeamos a extremidade aberta de um tubo, com a mão espalmada, uma nota é produzida. E nós a ouvimos!
Com os tubos devidamente dependurados por cordéis horizontais (ou linha de pesca), a 'mão espalmada' pode ser substituída por pequena raquete plástica envolvida por pano ou couro. Com os tubos devidamente apoiados na horizontal (ou, ligeiramente inclinados), poderão ser tocados com "chinelos" tipo 'havainas'.

Como vibram as colunas de ar?
A fonte de qualquer som é um objeto vibrando. Praticamente qualquer objeto pode vibrar e assim pode ser uma fonte de som. Em um tubo de PVC, o ar é posto em vibração ao se bater na extremidade aberta do tubo com a mão espalmada. Uma vez perturbado, o ar dentro do tubo vibra com uma certa variedade de freqüências, mas só certas freqüências persistem, aquelas compatíveis com um sistema de ondas estacionárias. 
Vamos comentar um pouco mais sobre ondas estacionárias usando da ilustração a seguir:

Uma onda estacionária ocorre quando uma onda contínua percorre um dado meio (uma corda tensa, na ilustração acima), reflete-se em algum obstáculo, volta atrás e interfere com a onda original. É uma superposição de ondas de mesma freqüência e mesma amplitude que se propagam no mesmo meio numa dada direção e sentidos opostos. Essa superposição especial recebe o nome de ondas estacionárias pelo fato de dar a impressão de que não há nada se propagando ... não se nota a onda progressiva ou a retrógrada.

As regiões onde ocorrem interferência destrutiva são chamadas de nós (os pontos cheios na fig.2) e aquelas onde ocorrem interferência construtiva são denominadas de ventres (ou antinós - pontos marcados com X na fig.2). Nós e ventres ocupam posições fixas num sistema de ondas estacionárias.

Ondas estacionárias ocorrem com mais de uma freqüência. A menor das freqüências que é capaz de produzir uma onda estacionária no ar (meio que nos interessa no momento), com obstáculos nas duas extremidades, apresenta um padrão como em (a) na fig. 2, e isso se traduz auditivamente como um determinado tom. Essa freqüência, cujo tom é o mais baixo possível, é denominada de freqüência fundamental.

As ondas estacionárias mostradas nas figuras 2b, 2c e 2d são produzidas por ondas com freqüências duas, três e quatro vezes maiores que a freqüência fundamental. Os sons que percebemos será 2, 3 ou 4 vezes "mais agudos" que o tom da freqüência fundamental.

As freqüências com as quais formam-se ondas estacionárias são as freqüências naturais ou freqüências ressonantes do objeto vibrante, e os padrões de ondas estacionárias distintos, mostrados da fig. 2, são os modos de ressonância distintos das vibrações naturais. Só ondas estacionárias que correspondem às freqüências ressonantes persistirão por bom tempo no meio em questão.

O estudo das ondas estacionárias em tubos sonoros (fechados e abertos) é feito, tradicionalmente, com as montagens abaixo ilustradas:

Nesse experimento clássico, as ondas estacionárias correspondentes aos sons reforçados pelo tubo fechado podem ser ilustradas assim:

Para os tubos abertos (normalmente, na prática, são tubos telescópicos) tem-se:

Embora uma onda estacionária seja o resultado da interferência de duas ondas que percorrem em sentidos opostos, também é um exemplo de um objeto vibrando em ressonância. Uma placa ou uma membrana que vibra estacionariamente apresentará padrões de nós e ventres, como podemos constatar usando das maravilhosas figuras de Chadni.

Física dos tubos tocados à chinelo
Quando excitados por ondas de fontes externas (sons de diapasões, por exemplo), nossos tubos de comportam como tubos abertos (abertos em ambas as extremidades), mas quando golpeados com a palma da mão ou chinelo, comportam-se como tubos fechados (um extremo aberto e outro fechado). Por essa razão, nós nos preocuparemos só com as ondas estacionárias que se formam nos tubos fechados.

Os primeiros padrões de ondas estacionárias que se podem formar são os ilustrados na fig. 3. As ilustrações representam as amplitudes dos deslocamentos das partículas de ar que vibram no interior do tubo, rebatidas na direção perpendicular aos seus deslocamentos. São ilustrações típicas nos compêndios de Física, para suprir as dificuldades da ilustração de ondas longitudinais. Note que, realmente, as partículas de ar vibram horizontalmente, paralelas ao comprimento do tubo (mostrado por setas pequenas sobre o segundo desenho).

Como a extremidade fechada é um obstáculo fixo, o ar ai não tem liberdade para se movimentar e junto a ela sempre teremos um nó de vibração; no extremo livre o ar tem liberdade de movimento, formando ai um ventre de vibração.

NOTA: Os ventres nos extremos abertos dos tubos não se formam precisamente sobre esses extremos porque eles dependem do diâmetro do tubo. Isso causa o denominado "efeito de extremidade", do qual voltaremos a falar mais adiante. Por enquanto, vamos assumir que os ventres estão exatamente sobre os extremos abertos.

A figura 4, a seguir, ilustra uma impossibilidade física para um sistema de ondas estacionárias em tubos abertos (uma extremidade fechada e outra aberta).

Na figura 3 destacamos a relação existente entre o comprimento físico do tubo (L) e os correspondente comprimentos de onda (l₁, l₂ e l₃) das ondas estacionárias.

Um quarto de comprimento de onda (l₁/4) pode se ajustar ao comprimento do tubo (L), na freqüência fundamental (L = l₁/4); três quartos de comprimento de onda (3. l₃/4) podem se ajustar ao comprimento (L) ao emitir o terceiro harmônico (freqüência 3 vezes superior à fundamental: f₃ = 3.f₁) e cinco quartos de comprimento de onda (5. l₅/4) podem se ajustar ao comprimento do tubo (L) ao ser emitido o quinto harmônico (freqüência 5 vezes superior à do fundamental: f₅ = 5.f₁).

As freqüências dessas ondas estacionárias que se formam relacionam-se com a velocidade do som (v) no ar (343 m/s, a 20^oC) e com os comprimentos de ondas assim: f = v/l .

Vamos exemplificar, usando o terceiro harmônico:

L = ¾ l₃ è l₃ = 4L/3 f₃ = v/l₃ è f₃ = v / (4L/3) = 3v / 4L

Os demais seguem a mesma construção. A partir do fundamental obteremos, portanto:

f₁ = 1.v / 4L , f₃ = 3.v / 4L , f₅ = 5.v / 4L , f₇ = 7.v / 4L , e assim por diante.

Essa sucessão pode ser escrita genericamente assim:

f = n.v / 4L , com n = 1, 3, 5, 7, .... ou f = (2n+1).v / 4L , com n = 0, 1, 2, ....

Com essa expressão, estamos habilitados para determinar todas as freqüências de ressonâncias produzidas pelos tubos sonoros tocados à mão, em função do particular comprimento do tubo, e vice-versa. Porém, só nos interessaremos, para cada tubo, pelo cálculo da freqüência fundamental (a mais baixa freqüência de ressonância), uma vez que é ela quem determinará o tom básico (altura) do som emitido pelo tubo.

Construindo a escala musical
Que poderemos fazer para obter uma escala completa de notas musicais?

Para obter sons de alturas diferentes (cada um deles na freqüência fundamental), temos duas chances, a saber: alterar a velocidade do som no interior do tubo ou alterar o comprimento de onda.
Essa conclusão vem de : f = v / l

A velocidade do som não irá mudar significativamente a menos que você altere drasticamente a temperatura do ar no interior do tubo ou substitua o ar por outros gases. Pelo dito, parece-nos mais simples alterar a altura do som fundamental produzido através da mudança do comprimento de onda.

Os comprimentos de ondas que interessam (l_n) podem ser selecionados através do conveniente comprimento do tubo sonoro (L_n).

Recordemos que f = v / 4L , para a freqüência fundamental, assim L = v / 4f. Desse modo, para obtermos uma nota específica (som de determinada freqüência) basta substituir na expressão acima o f por seu valor escolhido e obter o correspondente valor para L, comprimento do particular tubo sonoro.

Resta um pequeno problema que passaremos a discutir agora, é o efeito de extremidade.

Os comprimentos dos tubos obtidos pela fórmula acima (L = v / 4f), emitem "um" som fundamental (e obviamente seus harmônicos) um tanto alterado, como se os tubos fossem realmente um pouquinho mais comprido do que realmente são. O som real emitido (com todo o rigor das medidas de freqüência feitas por osciloscópio) correspondem a tubos cujos comprimentos são L + ¼ d_int , onde d_int são os diâmetros internos dos tubos. Desse modo, para que nossos tubos emitam realmente a série de sons que desejamos, devemos subtrair dos comprimentos obtidos via fórmula, a parcela ¼ d_int.

Nossa fórmula de cálculo, ajustada para o efeito de extremidade, passa a ser: L = (v/4f) - ( ¼ d_int) , onde d_int é o diâmetro interno dos tubos.

Agora, tudo que precisamos saber são as freqüências das notas que pretendemos tocar. Há muitas escalas que podemos escolher, cada uma delas com seu "sabor cultural". Os povos de cultura ocidental ao ouvirem uma música da cultura oriental, torcem o nariz e dizem: --- que dlem, dlem dlem esquisito, de onde tiraram isso? Bem, está explicado, a escala musical deles é diferente da nossa. Adotaremos aqui, pela cultura ocidental, a escala em C maior, cujas freqüências estão baseadas na escala cromática "bem temperada" de Bach. Eis a fórmula:

f₁ = f_o [ 2^1/12]^{número do intervalo}

Como um exemplo:

f_D = f_C [ 2^1/12]² = (262).(2^1/6) = 294 Hz

Eis uma tabela, nessa escala, com as notas, os números de intervalos, as freqüências, os comprimentos sem correção e uma coluna para anotar os comprimentos com correção (após subtrair a parcela d_int/4).

NOTA: A escala na tabela acima não está completa. Bach 'selecionou' 12 notas para sua escala 'bem temperada', a saber:

 
 Material
Tubo de PVC (medir a anotar o diâmetro interno d_int), lixa, serra, tinta.

Montagem
Meça um comprimento específico (L sem correção) e corte o tubo. Faça isso para cada pedaço. Não caia na esperteza de marcar os comprimentos no tubo e cortar tudo de uma vez ... a espessura da serra vai enganá-lo!

Após os cortes é que serão feitos os ajustes de comprimentos com correção. Uma lixadeira fixa, vertical (disco com lixa girando no plano vertical) e apoio a 90 graus, vem bem a calhar. Uma lixa fina dará o acabamento.

Limpe bem os tubos, retire qualquer eventual rebarba, e passe à fase de pintura. Um tubo de cada cor facilitará o "regente da orquestra" na sala de aula. Os tubos também poderão ser etiquetados indicando nome da nota, freqüência, comprimento com correção.

Precaução: extremos dos tubos não lixados podem ferir as palmas das mãos.

Na aula de Acústica, levei os tubos sonoros para a sala, distribuí para 8 alunos que se sentaram na primeira fila e começamos nossas "execuções". Primeiro tocamos a escala completa várias vezes para sentir o sabor da escala ... e daí para a frente foi o maior sucesso da temporada!