Oscilações - Ressonância
(Microondas, Tacoma e edifícios)

Prof. Luiz Ferraz Netto
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Introdução
Oscilações e vibrações são comuns nos objetos que nos rodeiam, quer nas estruturas e máquinas que construímos, quer ao nível microscópico, nos átomos e nas moléculas. Na Física do Ensino de 3^o grau você poderá compreender melhor o 'modelo' do oscilador harmônico, mas aqui vai um resumo 'rasante' desse magnífico modelo básico no mundo das oscilações. 
Antes de apresentarmos algumas situações curiosas do nosso quotidiano, vamos primeiro oferecer um pouco de Dinâmica das Oscilações. Recomendamos, por outro lado, que veja os artigos já publicados na Sala 04 relativos à Cinemática do MHS.

Um oscilador harmônico está sujeito a forças cuja resultante deve ser de restituição e do tipo elástica. Para caracterizar o movimento do oscilador harmônico, tenhamos em consideração que a força elástica exercida sobre uma partícula de massa m, quando a afastamos da posição de equilíbrio, é uma força de restituição F porque se opõe ao afastamento x do ponto de equilíbrio. Existem muitos sistemas em que a resultante F é proporcional a x (veja vários deles em nosso item 05 da Sala 14). 
Nesses casos é válida a expressão F = - k.x, sendo k > 0 a constante elástica do oscilador. Em outros sistemas esta expressão só é aproximadamente válida. Consideram-se em tais casos apenas oscilações de pequenas amplitudes. Eis a matemática do processo:

Como, de acordo com a segunda Lei de Newton, para um objeto de massa m, sujeito à força resultante F, temos:

obtém-se a seguinte equação do movimento:

se definirmos w² = k/m. O símbolo d²x/dt² representa a segunda derivada de x. Fisicamente, é a aceleração da massa m. A solução desta equação diferencial de 2ª ordem é uma função em seno ou cosseno (optamos pela solução seno):

Nesta solução aparecem duas constantes que dependem das condições iniciais do movimento (são duas porque a equação é de segunda ordem). Uma delas, A, é a amplitude do movimento [maior valor que a x(t) pode assumir]. A outra, d (letra grega delta), representa indiretamente a posição do corpo no instante inicial [x(0) = A.send].

O período da oscilação é

A solução da equação do movimento x(t) está representada graficamente na fig. 1.

Contudo, nos sistemas macroscópicos reais, além da força de restituição estão sempre presentes forças resistivas. O oscilador harmônico é, nestas condições, amortecido. Generalizando o resultado anterior, percebemos que a solução da equação do movimento é x₁(t) no caso do efeito das forças resistivas ser pouco significativo e x₂(t) no caso da força resistiva ser muito intensa impedindo mesmo a oscilação. Estas soluções estão representadas graficamente nas figs. 2 e 3, acima.

Na situação da força resistiva não ser suficientemente forte para eliminar as oscilações, a freqüência do movimento w₁vem atenuada em relação a w_o.

Considerou-se irrelevante, nos casos anteriores, a força que levou o oscilador ao movimento. No entanto, podemos considerar um sistema sujeito à aplicação de uma força exterior (além da onipresente força de atrito). Vamos supor que esta força tem uma forma senoidal, sendo do tipo F(t)=F_ocos(wt) já que qualquer função pode ser escrita como uma soma de funções senoidais (análise de Fourier). F_o representa a amplitude da força e w a sua pulsação (freqüência angular).

Quando ocorre esta situação, o oscilador acaba sempre por oscilar com a freqüência imposta pela força exterior, já que o atrito atenua a oscilação com a freqüência própria w_o. Contudo, o sistema responde a esta imposição de maneira diferente para cada freqüência w_o. A curva A em função de w representada acima depende de um fator l (lambda) que se designa por coeficiente de amortecimento. Para w = 0 a amplitude é A_o, que representa a amplitude da oscilação na ausência da força exterior. O gráfico tem o seu máximo para w @ w_o. Nesta zona de freqüências a amplitude das oscilações é especialmente grande e a este fenômeno dá-se o nome de ressonância. No caso especial de o atrito ser nulo, l = 0, para w @ w_o as oscilações têm amplitudes infinitas!

Vamos agora expor algumas aplicações quotidianas envolvidas com esse tema.

A ressonância tem importância capital nos sistemas que estejam sujeitos a vibrações, de qualquer tipo. Notar que, apesar de termos pensado em x como uma grandeza espacial, qualquer grandeza física pode estar sujeita a oscilações. Por exemplo: o som que ouvimos não é mais do que a pressão do ar a oscilar; a luz é a propagação da oscilação dos campos elétrico e magnético. Também a corrente elétrica tem comportamento semelhante quando no circuito existem capacitâncias ou indutâncias. Recomendamos que veja detalhes sobre isso no artigo "16 em 1 ... o MHS", da Sala 18.

Nuns casos, como na vibração dos edifícios, das hélices ou dos motores, pretende-se construí-los de forma a minimizar a amplitude desses movimentos. Noutros, como no caso do circuito de uma antena, interessa obter grandes amplitudes de oscilação para emitir ou captar ondas de uma certa freqüência.

Vibrações dos edifícios
Com base neste estudo, podem construir-se edifícios anti-sísmicos limitando assim estragos que possam acontecer. Quando ocorre um sismo, uma construção é sujeita a uma força exterior, com uma determinada freqüência (na realidade é uma sobreposição de várias freqüências). Se o edifício tiver a sua freqüência própria (também são várias) próxima das freqüências impostas pelo sismo, as amplitudes tornam-se grandes e podem destruir edifícios. Existem duas formas para evitar a destruição sísmica: aumentar as forças resistivas de forma a diminuir as amplitudes das oscilações na zona de ressonância; evitar que a freqüência própria das oscilações da construção seja próxima da das oscilações provocadas pelos sismos.

Existe uma fórmula empírica que fornece uma estimativa do período de oscilação própria de um edifício com H metros de altura e L metros de largura da base, considerando-a quadrada.

A título de curiosidade, podemos calcular facilmente o período de oscilação própria da Torre Eiffel. Sendo H = 312m e L = 125m, então T_o @ 2,5 s.
Interessante, não?

A ponte de Tacoma
Já pensou que um grupo de soldados a marchar pode partir uma ponte sem qualquer esforço? Pois é, pode sim e é por isso que ao passar por pontes os soldados são dispensados dos passos cadenciados. Apesar de não ser muito fácil basta que a freqüência com que marcham seja aproximadamente igual à freqüência de oscilação da ponte. Nesta situação a amplitude de oscilação será de tal modo elevada que a ponte pode mesmo partir; é a ressonância em ação.

No estado de Washington, no dia 7 de Novembro de 1940, aproximadamente às 11 horas da manhã, a ponte suspensa sobre o estreito de Tacoma, apenas 4 meses depois de ter sido aberta ao tráfego, foi destruída durante um vendaval. A ponte apresentava um comprimento total de 1530 m, com um vão central de 850 m.
Inicialmente, sob a ação do vento, o vão central pôs-se a vibrar no sentido vertical, passando depois a vibrar torcionalmente, com as torções ocorrendo em sentido oposto nas duas metades do vão. Uma hora depois, o vão central se despedaçava.
Tal acontecimento não foi devido simplesmente à força imposta pelo vento que, na manhã do desastre, soprava com a velocidade de aproximadamente 68 km/h, insuficiente, por si só, para destruir uma ponte solidamente construída. O desastre realmente ocorreu devido ao fenômeno físico da ressonância, sendo impossível resistir às oscilações surpreendentes que você mesmo poderá apreciar num vídeo posto no site http://www.enm.bris.ac.uk/research/nonlinear/tacoma/tacoma.html. 
Todavia, por enquanto contente-se com essas animações:

 

Forno de microondas
Por que razão é que num forno de microondas a comida aquece e o prato de pirex não?

A resposta é imediata: o sistema só oscilará se a 'energia excitante' for exatamente a que corresponde à freqüência de ressonância.

Há, no entanto uma coisa importante que deve saber: num sistema macroscópico, há sempre uma certa quantidade de energia que é absorvida, mesmo para freqüências diferentes da de ressonância mas, no caso das vibrações atômicas e moleculares a absorção de energia é muito mais seletiva.

Nas moléculas, quando se aplica momentaneamente um campo eletromagnético alternado, os seus átomos ficam a oscilar como se estivessem presos por uma mola. É este o princípio de funcionamento do forno de microondas. Portanto, o prato de pirex não absorve a energia, enquanto o alimento absorve, porque a radiação eletromagnética do "microondas" tem uma freqüência que é a freqüência própria da água. Então a água absorve a energia fornecida pelas microondas, aumentando a agitação das moléculas e aquecendo o alimento. É por este motivo que nem todos os materiais são propícios para aquecerem a comida nesse forno. Se o material tiver uma zona de ressonância próxima da da água desperdiça-se energia no aquecimento do material em vez de aquecer o alimento, podendo originar-se danos irreparáveis.
Como se percebe, no caso do microondas, não se pretende evitar a zona de ressonância como nos casos anteriores (de desastres) mas sim atingi-la.

Essa divulgação, como todas as demais, pretendem despertá-lo para aprofundamentos mais arrojados dentro da Ciência.

Importante: Dois experimentos simples sobre  ressonância, aliás recomendados para alunos desde a 7^a série, podem ser vistos, nessa Sala 10, no item 49, "Ressonância com réguas".