Pêndulo duplo de Airy-Blackburn

Prof. Luiz Ferraz Netto
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Apresentação
O 'pêndulo de areia', tradicional, é simplesmente um pêndulo que tem como massa pendular (lente) um funil. Colocando-se areia colorida dentro dele, a trajetória da extremidade do pêndulo fica marcada numa folha de papel, pela areia fina que escoa.
Se esse pêndulo é posto em movimento no plano vertical que contém a suspensão, o movimento é pendular, o centro de massa do pêndulo e portanto a extremidade do funil, efetua um movimento harmônico se a amplitude das oscilações é pequena. Qualquer que seja esse plano vertical o movimento é sempre harmônico. Em (a), na ilustração abaixo, mostramos essa situação. Observe a areia derramada. Por que a areia acumulou-se mais nas extremidades da trajetória?

 Quando se lança o pêndulo com uma velocidade que não está no plano vertical definido pela posição inicial do centro de massa pendular e pelo ponto de suspensão, então o movimento é elíptico (elipse de Lissajous). Em (b), na ilustração acima, mostramos a elipse desenhada pela areia que escoa. Observe agora, que a areia se distribui uniformemente pela trajetória toda; não há 'montículos'.

Pode-se agora suspender o pêndulo por dois fios que vão juntos até certo ponto A e depois se separam indo fixar-se a dois pontos B e C de um suporte horizontal. Na prática, A é uma pequena esfera de madeira perfurada que pode deslizar ao longo dos dois fios, determinando assim, onde ocorrerá a separação deles. Se o pêndulo oscila em torno do ponto A, no plano vertical que contem BC, ele tem um movimento harmônico de certo período T₁:

x = a.cos2p(t/T₁) = a.cosw₁.t

Se oscila em torno da reta BC no plano que contem A o pêndulo efetua outro movimento harmônico de período T₂ diferente de T₁ pois num caso e noutro são diferentes as distâncias do baricentro pendular até o ponto ou eixo de suspensão:

y = b.cos[2p(t/T₂) + j] = b.cos(w₂.t + j)

Quando o pêndulo é lançado com uma velocidade que não está no plano vertical de A então seu movimento corresponde ao caso mais geral das figuras de Lissajous. Pode-se regular a altura do ponto A (ajustando a posição da esfera de madeira), de modo que os períodos T₁ e T₂ sejam comensuráveis, e neste caso as figuras correspondem a casos clássicos, sobretudo quando n₁ e n₂, são números inteiros baixos ( <4, digamos). [f₁/f₂ = T₂/T₁ = n₁/n₂].

Uma sugestão
O conhecido pêndulo de areia para o traçado das curvas de Lissajous pôde ser atualizado com técnica do sistema telescópico para a caneta esferográfica ou hidrográfica (e dispensar a fina areia). Basta construir a lente pendular com duplo sistema telescópico, conforme ilustramos:

Quer saber? Particularmente prefiro ver a areia fina, colorida, escoando pelo funil.