FIGURAS DE LISSAJOUS EM 3 DIMENSÕES

 Prof. Luiz Ferraz Netto [Léo]
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Introdução
As figuras de Lissajous, em nível de 2^o grau, ensino médio e técnico, são estudadas como resultantes de superposições de dois movimentos harmônicos simples que se desenvolvem em direções perpendiculares.

Dois movimentos harmônicos simples coplanares e de direções perpendiculares entre si, dando como resultante uma figura de Lissajous.

Você pode obter tais figuras projetadas em telas (imagens reais), por efeito de persistência retiniana, de vários modos, tais como:

1 - Projeto com diapasões
Colar dois pequenos espelhos planos em uma das extremidades livres de dois diapasões que vibram em planos perpendiculares e incidir sobre eles um pincel de luz (de preferência , de laser) que, refletindo-se em ambos, incida na tela.

Dois diapasões vibrando em planos perpendiculares

 2 - Projeto com alto falantes
Colar dois pequenos espelhos planos nos centros de dois cones de alto-falantes, dispostos em planos perpendiculares, e incidir um feixe de luz laser que, refletindo-se em ambos, atinge a tela. Os alto-falantes devem ser excitados por dois pequenos amplificadores de áudio (5 a 10 W) independentes e, cada um deles, por sua vez, excitado por um gerador de áudio freqüência. Os devidos ajustes das freqüências componentes, assim como suas amplitudes, permitem visualizar na tela (duas dimensões) toda a gama de figuras de Lissajous.

Dois espelhos perpendiculares entre si, fixos aos cones de dois alto-falantes

Nota: Esse projeto foi posto, em detalhes, nessa Sala 10; clique AQUI !

Nosso novo projeto
Esse novo projeto, permite a visualização de tais figuras em três dimensões. E' um trabalho audacioso para alunos do segundo grau, que, porém, deve ser tentado. Vencer desafios é a meta do ser humano culto e integrado na educação.

Vejamos a idéia básica do projeto.

Você deve ver as tais figuras de Lissajous, logo, a luz deve partir de algum lugar e incidir em seu globo ocular. Então, necessitaremos de uma fonte de luz. Essa, pode ser proveniente de um projetor de ‘slides’, um projetor de ‘loops’, ou qualquer outra fonte colimada (dotada de lentes que permitam o ajuste da focalização).

 Essa luz não poderá vir diretamente da fonte para os nossos olhos, ela deverá ser refletida (ou melhor, difundida) por alguém (superfície difusora) e daí seguir para os olhos de vários observadores (e não só para os seus!). Além disso, essa luz difundida para os vários observadores, deverá produzir, por persistência retiniana, a figura de Lissajous em 3 dimensões; logo, já deverá ser a resultante de movimentos harmônicos perpendiculares entre si.

Eis como se pode obter tudo isso:

Um pequeno motor elétrico, cuja rotação possa ser controlada eletronicamente (ver comentários adiante), leva em seu eixo um disco de madeira (pintado com tinta preta opaca) de 10 a 12cm de diâmetro e 1cm de espessura. Próximo à periferia desse disco, prende-se, perpendicularmente ao seu plano, uma haste cilíndrica de madeira, de diâmetro 0,6 a 0,8cm e comprimento de 10 a 12cm, pintada com tinta branca (tinta látex, branco neve). Um lápis de cor, branco, pode ser usado, sem problemas.
Eis a ilustração dessa parte da montagem:

Disposição do motor (1), disco, haste e controle de velocidade.

Ligando-se o motor elétrico, a haste branca põe-se a girar, descrevendo uma superfície cilíndrica, em relação ao eixo de rotação. Se o período de rotação do eixo do motor for menor que 1/10 do segundo, não veremos a haste deslocando-se de uma posição para a outra e sim um ‘tubo branco’, devido à persistência retiniana. Olhando-se tal "tubo", de lado, tal como se observa na figura acima, veremos apenas uma "faixa branca". Essa faixa branca nada mais é que a projeção do movimento da haste, num plano vertical (plano z O y), que é um movimento harmônico simples (MHS), de freqüência f (igual à do rotor do motor) e amplitude r (distância do centro do disco à haste). A figura a seguir mostra o movimento da haste, no plano z O y. 

MHS, visto no plano vertical (zOy)

Vista desse plano, o movimento de um ponto da haste, no eixo de referência  z  é dado pela equação:

z = r.cos(2.p.f.t)      (1)

onde r é a amplitude do movimento , f sua freqüência e z a elongação do ponto da haste, medida a partir do eixo de rotação. Assumimos fase inicial nula, ou seja, a haste encontra-se na posição extrema A (+r), no instante ao qual se associa t=0. Se olharmos o movimento da haste, por cima, ou seja, visto no plano x O y , também teremos um MHS, de amplitude r, freqüência f e defasado do movimento vertical [de equação (1)] em p/2 radianos. Você deslocou seus olhos do plano  vertical para o plano horizontal ¾ deslocou-se de p/2 radianos. Matematicamente, no instante inicial já adotado, o ponto da haste encontra-se em O e não em B. A figura a seguir ilustra tal situação. 

MHS, visto no plano horizontal (xOy)

A figura a seguir mostra, em perspectiva tais movimentos harmônicos simples.

Perspectiva dos movimentos componentes segundo (xOy) e (zOy)

Esse movimento, observado no plano horizontal, tem equação:

x = r.cos(2. p.f.t - p/2)               ou 

x = r.sen(2. p.f.t)            (2)

Superpondo-se esses dois movimentos harmônicos simples de direções perpendiculares, com mesmas amplitudes, mesmas freqüências e defasados de p/2 radianos, tem-se como resultado um movimento circular e uniforme, de raio r e freqüência f, que é o movimento de qualquer ponto da haste branca, no espaço. A haste toda descreverá, portanto, a superfície cilíndrica, vista por persistência retiniana.

As equações (1) e (2) são as equações paramétricas desse MCU.

A trajetória resultante, de cada ponto da haste branca, tem equação obtida a partir de (1) e (2), com a eliminação do parâmetro t.

                              x = r.sen(2. p.f.t)
                              z = r.cos(2. p.f.t)

elevando-se ao quadrado:

                              x² = r².sen²(2pt.f)
                              z² = r².cos²(2ptf)

somando-se, membro a membro:

                               x² + z² = r²               (3)

uma vez que sen²(2ptf) + cos²(2ptf) = 1    

A (3) é a equação da circunferência de raio r e centro na origem do sistema de coordenadas (O).

Observe, portanto, que o simples movimento da haste ao redor do centro do disco já é a composição de dois movimentos harmônicos simples perpendiculares entre si, dando como visual, em alta rotação, a superfície cilíndrica branca.

A seguir, vamos introduzir o terceiro movimento harmônico simples no sistema. Esse terceiro movimento harmônico será o de uma estreita faixa luminosa vertical, percorrendo a extensão da haste branca, horizontalmente. A figura abaixo ilustra a inclusão desse movimento no sistema.

Movimento oscilatório da faixa luminosa ao longo da haste branca

Essa faixa luminosa vertical, em movimento harmônico horizontal é obtida a partir de um cartão preto, que contém uma fresta de 2 a 3mm de largura por 5cm de comprimento, que oscila na frente do feixe de luz proveniente do projetor.

Esse movimento oscilatório do cartão pode ser conseguido de vários modos. Vejamos alguns:

(a) Um deles, consiste em converter o movimento circular de um disco (cuja periferia encosta-se ao eixo de um motor elétrico) em um movimento 'quase' harmônico através da técnica manivela-biela. Você saberia dizer porque tal movimento do cartão não é um perfeito MHS?

Obtenção do terceiro movimento oscilatório (quase) harmônico

(b) Eis outra sugestão, que faz com que o cartão realize realmente um MHS:

(c) Uma boa versão da (b) é a seguinte:

(d) Mais possibilidades para fazer a fresta executar um vai-vem periódico:

(e) Outra solução, é colocar guias para o movimento do cartão e ligar a biela diretamente do disco ao cartão, como se ilustra a seguir. 

Outro modo de se obter o terceiro movimento

A rotação desse motor (cujo eixo revestido de borracha toca na periferia do disco) também deve ser controlada eletronicamente (ver comentários adiante).
 
Optei pela primeira das possibilidades apresentadas por já se encontrar pronta na fase de desenvolvimento desse projeto. Com essa montagem, a luz que passa pela fresta do cartão percorrerá a haste branca, ao longo de sua extensão (eixo y), com equação:

                   y = b.cos(2. p.f’.t)        (4)

onde b é a amplitude do movimento (cerca da metade do comprimento da haste; esse ajuste faz-se através das posições relativas entre fresta, haste e projetor) e f’ é a freqüência do movimento do cartão [ajustável, no motor (2)].
A figura a seguir dá um visual geral da montagem:

Aspectos gerais da montagem

Com a haste branca em repouso [motor (1) desligado] e com o cartão em movimento [motor (2) ligado] , a faixa luminosa vertical percorrerá toda a extensão da haste branca num movimento de vai e vem [é o movimento dado pela equação (4)] ; com o motor (1) ligado, observar-se-á a superposição dos 3 movimentos, de equações (1) , (2) e (4), simultaneamente, pela luz difundida pela haste branca. Em ambiente escurecido o visual é surpreendente.
O parafuso (1) que aciona a biela pode ser deslocado ao longo do raio do disco e, com isso, ajustar a extensão do percurso horizontal (a) executado pelo cartão. O parafuso (2) que fixa a fonte de luz pode permitir ajuste da distância desta fonte até a fresta e, com isto, ajustar a largura da faixa luminosa que atinge a vareta branca. 
São as famosas figuras de Lissajous, vistas em três dimensões. A figura exibe (se desculparem minha veia artística) dois desses visuais.

 Exemplos de figuras de Lissajous observadas

As equações:

                  x = r.sen(2pt.f)

                  z = r.cos(2pt.f)

                  y = b.cos(2pf’.t)

são as equações paramétricas da figura de Lissajous obtida, em 3 dimensões. Essa figura, estará contida na superfície do cilindro com base de raio r e altura 2b, como se ilustra na figura a seguir:

A figura de Lissajous forma-se sobre a superfície cilíndrica

Veja, mais abaixo, algumas figuras de Lissajous, em duas dimensões,  em função das defasagens dos dois movimentos componentes.

Nota: Para o terceiro MHS poderíamos tentar a técnica de fazer uma pequena caneta laser oscilar verticalmente na posição da fresta F. Que tal você experimentar isso e contar-me o resultado?

Comentários
Alguns detalhes construtivos são postos a seguir, no intuito de orientá-lo. Modificações técnicas são sempre possíveis, dependentes sempre dos recursos à disposição. Não se acanhe em pedir ajuda ao professor, aos familiares, ao marceneiro de sua rua, ao torneiro conhecido. Basta que você e seus colegas participantes do projeto conversem seriamente com tais pessoas, destacando o projeto científico.

Pequenos motores elétricos universais (dotados de escovas), para 110v, são os mais indicados para o projeto (tipo motor de máquina de costura, furadeiras elétricas portáteis, pequenos agitadores elétricos de cozinha etc.), por admitirem ajuste eletrônico de velocidade. O circuito eletrônico mais simples para tais controles é o ilustrado na figura a seguir:

Esquema do controle de potência para motores universais

Para a montagem do controle de velocidade (ou de potência), cuja esquema apresentamos, o material é o seguinte: 
1 TRIAC - TIC-226D, 1 DIAC comum, 1 potenciômetro linear 220K, 1 resistor 3K3/1W,  1 capacitor de poliéster (0,05 a 0,1 mF x 400V).

Esse controle, dado a sua simplicidade e o número de componentes, pode ser montado numa barra de terminais ou, para montadores mais experientes, em um circuito impresso.

Dois "dimmers" de luz, comerciais, também resolvem os problemas dos controles de velocidade dos dois motores do Projeto.

O movimento do cartão, com fresta vertical, não precisa ser exageradamente rápido; daí a redução proposta, pela técnica de encostar o eixo do motor (2) na periferia do disco de madeira. Um tubinho de borracha ou plástico encaixado justo nesse eixo garante o atrito necessário ao não escorregamento. Esse disco de madeira pode ter diâmetro em torno dos 12cm, desse modo o pino da biela poderá ser ajustado para vários braços de manivela (modificação do raio) e, com isso, ajustar a amplitude do movimento.

Apresentamos, a seguir, algumas Figuras de Lissajous, à duas dimensões, em função das defasagens de dois movimentos ortogonais.

Agradecimentos e sugestões
Desejamos total sucesso nesse empreendimento científico. Ele é recomendado, para Feiras Científicas, Trabalhos Escolares, Exposições e estudos em vários níveis de profundidade. É indispensável para alunos da 1^a. série do 3^o grau, nas áreas de exatas. 
O autor desenvolveu esse projeto em fins de junho de 1993, no Laboratório de Demonstrações do Instituto de Física da Universidade de São Paulo, setor esse então, sob a responsabilidade do Prof. Dr. Ernst W. Hamburger, ao qual já agradeci a leitura e comentários sobre esse artigo. 
Colaboraram na elaboração do instrumental, à época, os técnicos Cidemar Divanir Forcemo e Wilson Luís da Silva.
Em tempo: 
Na época em que lá trabalhei (IFUSP), tal projeto (e mais de 100 outros de igual importância ao desenvolvimento da Física Clássica) encontravam-se á disposição de alunos e interessados, de segunda a sexta, das 8 ás 21h (IFUSP, Ed. Principal, Ala Central, Laboratório de Demonstrações). 
Além de uma visita a esse local de demonstrações, recomendo, também, uma visita á Estação Ciência, na Lapa - SP.

Nesse texto, adaptado para a WWW, colaborou na revisão e indicou valiosas sugestões, o Prof. Antonio Carlos M. de Queiroz (veja nossa Sala de bons Links), ao qual acrescento meus agradecimentos. Como de praxe, apreciaríamos suas sugestões e o relato de suas tentativas, erros e sucessos. Tais comentários (com as devidas autorizações) serão colocados em nossas páginas para orientação e ajuda aos demais jovens que optarem por tal projeto. 

Participe com o processo da Educação.