Intervalos – O Ciclo de Quintas

por: Prof.Luiz Netto


Nota: Este estudo (Representação Polar da Escala Musical) é algo que não encontrei até hoje tanto em livros como na internet. Nunca encontrei esta equação que estou utilizando: r = (1.0594631)^(1.9098593t). (Notação utilizada nos programas de geração de gráficos).

Encontrei algo sugerindo a idéia dessa espiral logarítmica para representar as oitavas musicais, mas que o autor não saberia qual a equação que poderia descrevê-la. Estudando-a, eu a desenvolvi. Claro está que a maneira tradicional de representação é uma maneira simbólica muito boa. – O que pretendemos é descrever matematicamente a sequencia de quintas e claro podemos fazer isto também com os intervalos de Quartas.


DO C MI 3 E SOL 5# G#
Do# Fa3 La5
Re Fa3# La5#
Re# Sol3 Si5
Mi Sol3# Do6
Fa La3 Do6#
Fa# La3# Re6
SOL G SI 3 B RE 6# D#
Sol# Do4 Mi6
La Do4# Fa6
La# Re4 Fa6#
Si Re4# Sol6
Do2 Mi4 Sol6#
Do2# Fa4 La6
RE 2 D FA 4# F# LA 6# A#
Re2# Sol4 Si6
Mi2 Sol4# Do7
Fa2 La4 Do7#
Fa2# La4# Re7
Sol2 Si4 Re7#
Sol2# Do5 Mi7
LA 2 A Do 5# C# FA 7 F
La2# Re5 Fa7#
Si2 Re5# Sol7
Do3 Mi5 Sol7#
Do3# Fa5 La7
Re3 Fa5# La7#
Re3# Sol5 Si7->D0 8 -> C

A maneira usual que se apresenta simbólicamente os intervalos de Quinta e de Quartas é utilizando uma circunferência com a sequencia de notas – C – G – D – A – E – B – F# – C# – G# – D# – A# – E# , para os intervalos de quintas como apresentado abaixo – e C – F – Bb – Eb – Ab – Db – Gb – Cb – Fb – Bbb – Ebb – Abb, para os intervalos de Quartas – O círculo interno. Podemos representar estas sequencias de um modo rigorosamente matemático. Vamos traçar os intervalos de quintas, utilizando a notação polar através da equação: r = n(1.0594631)^(1.9098593 t), com t medido em radianos e n com valores 2,4,8,16,32,64 – para traçar as espirais representativas dessas oitavas.

Modo usual de Representação dos Intervalos de Quintas e Quartas.

A distância ângular entre as notas na sequencia de quintas é de 210 graus –(sobe 7 semitons -> 7*30 = 210 graus) – Isto é uma consequencia da adoção da divisão de uma oitava em 12 intervalos, o que no espaço de 360 graus, ou 2 pi radianos, equivale a distância de 30 graus, ou pi/6 radianos, entre os semitons.

No sentido contrário aos ponteiros do relógio inicie pela nota C seguindo pelas notas – G – D – A – E (Este primeiro desenho). Na sequencia, no próximo desenho seguem-se as notas – B -C# – G# – D# – A# – E# – C – a partir daqui o ciclo se repete novamente. No intervalo de Quintas, são percorridos 7 oitavas para que as notas se repitam na mesma sequencia.

REPRESENTAÇÃO DOS INTERVALOS DE QUINTAS ATRAVÉS DE NOTAÇÃO POLAR

Representação do Intervalos de Quintas desde C até C– completando o ciclo das Quintas – Caminhe sobre a espiral – a partir de c até C – e veja os múltiplos de 30 graus entre uma nota e a seguinte – (7)x(30) = 210 graus.(Cada 30 graus eleva-se a frequencia da nota em 1 semiton.Estão representados os valores da nota e seu ângulo.

CÁLCULO DOS VALORES DAS NOTAS NOS INTERVALOS DE QUINTAS

Utilize um programa gráfico para traçar e plotar os valores de uma função. A função aqui é: r = n(1.0594631)^(1.9098593t), com os valores de n=1,2,4,8,16,32 e 64 e t variando de Zero a 2pi radianos.

CICLO DE QUINTAS

Nota Musical – ângulo

Frequencia da nota Musical da sequencia de quintas e o seu ângulo correspondente

EXERCÍCIO

Seja calcular o valor da última nota da sequencia de Quintas, a nota C: Sabemos que o ângulo é igual a 2520 graus, ou em radianos, é igual a (84*pi/6) radianos.

A equação a ser aplicada é esta: (1.0594631)^(1.9098593*t). t aqui corresponde ao ângulo de (84*pi/6).

Aplicando a equação vamos calcular o valor de C:

valor do expoente –> (1.9098593*84*(3.1416/6)) = 84

então r= (1.0594631)^t = (1.0594631)^84

r = (1.0594631)^84 = 128

r=128

então:

(1.0594631)^(1.9098593t)= 128

Você precisa utilizar uma calculadora científica que contenha a função exponenciação, para fazer estes cálculos, ou no seu computador clique em Iniciar->Todos os Programas->Acessórios->Calculadora -> Escolha Medida de ângulos em Radianos e a função x^y

Problema Inverso

Conhecendo-se o valor da nota, calcular qual o angulo (t) – (em radianos) que lhe corresponde.

Notação Polar da Escala Musical Temperada – Representação de Uma Oitava

MEDIDA DE DO INTERVALO DE QUINTA


O Prof.Luiz Netto é graduado em Matemática pela Faculdade de Filosofia de Ciências e Letras de Santo André – SP – Brasil


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